비모수 분석 (Non-parametric Analysis)

 

1. 비모수 분석 개념

 

모집단의 확률분포에 대해 강한 가정을 하지 않는 분석 방법임

• 배경 및 목적 : 데이터가 정규분포를 따르지 않거나 표본의 크기가 너무 작아 중심극한정리(CLT)를 적용하기 어려울 때 사용함
• 주요 특징
  • 모평균(mean)보다는 중앙값(median)을 대표적인 모수로 사용함
  • 원래의 데이터 값(X)을 그대로 사용하기보다 순위(rank)나 부호(sign) 등의 형태로 변환하여 분석함
  • 장점 : 분포에 대한 정보가 적어도 폭넓게 활용할 수 있음
  • 단점 : 모수 분석에 비해 검정력(power of test)이 상대적으로 낮음

• 언제 비모수 분석 사용
  - 표본이 매우 작을 때, 정규분포 가정이 어려울 때, 이상치(outlier)가 많을 때, 순서척도 자료일 때

2. 단일 모집단의 모평균(중앙값) 검정

하나의 집단이 특정 기준값과 차이가 있는지 확인하는 방법임

• 부호 검정 (Sign Test)
  • 데이터가 기준값(θ0​)보다 크면 '+', 작으면 '-' 부호를 부여하여 그 빈도를 계산함
    예) +1, +100 둘다 +1개로 처리
  • 표본이 작으면 이항분포를, 표본이 크면 정규분포 근사를 이용해 검정함

• 부호순위 검정 (Signed Ranks Test)
  • 부호 검정의 약점(크기 정보를 무시함)을 보완한 방법임
  • 단순히 크고 작음뿐만 아니라, 기준값과의 차이가 얼마나 큰지에 따라 순위(rank)를 매겨 그 합을 이용함
    절차 ① 편차 계산 xi−θ0
            ② 절대값 계산 ∣xi−θ0∣
            ③ 순위 부여 작은 것부터 1, 2, 3,...
            ④ 원래 부호 붙임 +, -
            ⑤ 순위합 계산 W+ W-
  • 대표적으로 윌콕슨 검정(Wilcoxon test)이 이 방식을 사용함

 

3. 두 모집단의 모평균 비교 검정

두 집단 간의 중앙값에 차이가 있는지 검정합니다.

• 순위합 검정 (Rank Sum Test)
  • 윌콕슨-맨-휘트니 검정(Wilcoxon-Mann-Whitney test)이라고도 불림
  • 두 표본을 하나로 섞어 크기순으로 나열한 뒤, 각 집단에 속한 관측치들의 순위 합을 계산하여 두 집단의 분포가 동일한지 비교함

 

4. 세 개 이상 모집단의 모평균 비교 검정

 

모수 분석의 분산분석(ANOVA)에 대응하는 비모수적 방법임

• Kruskal-Wallis 검정
  • 세 개 이상의 집단을 비교할 때 사용하는 순위합 검정의 확장판
  • 분포에 대한 가정 없이 각 집단의 순위합을 이용하여 평균(중앙값)의 차이를 검정함

구분	모수 분석 (Parametric)	비모수 분석 (Non-parametric)
가정	정규분포 등 강한 가정 필요	약한 가정 (분포 무관) 분포 가정 없음
데이터 형태	연속형 (등간, 비율 척도) 평균 사용	명목, 서열 척도 포함 순위(rank) 사용
중심 지표	평균 (Mean)	중앙값 (Median)
단일 집단 검정	Z-검정 / 단일표본 t-검정	부호 검정(개수만 사용), 부호순위 검정(크기 rank까지 사용)
두 집단 검정	독립표본 t-검정	순위합 검정 (Wilcoxon-Mann-Whitney)
세 집단 이상	분산분석(ANOVA) F-검정	Kruskal-Wallis 검정

 

암기

 

부호검정 → +, - 개수만 비교, 방향만 사용, 이항분포 사용

부호순위검정 → +, - 와 순위(rank) 사용

순위합검정 → 두 집단 비교

Kruskal-Wallis → 세 집단 이상 비교

비모수분석 → 정규분포 가정 없이 순위(rank)로 분석한다.

 

테스트

 

Q1. 부호검정의 검정통계량은? + 개수

Q2. 부호검정의 분포는? 이항분포 B(n,0.5)

Q3. 부호순위검정이 부호검정보다 좋은 이유? 순위(rank) 정보를 추가 사용

Q4. 두 모집단 비교 비모수검정? Wilcoxon-Mann-Whitney 순위합 검정

Q5. ANOVA의 비모수 버전은? Kruskal-Wallis 검정

 

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#부호 검정과 부호순위 검정은 어떤 상황에 각각 활용하는가?
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#비모수 분석의 검정력이 낮아지는 구체적인 이유
#윌콕슨-맨-휘트니 검정에서 순위를 합산하는 과정

#검정 목적은 두 모집단의 중앙위치(Median) 차이